Question

【题目】如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；

（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；

（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为：y=；（2）点P坐标为（5，0）或（，0）（3）y=x﹣2；（4）F坐标为（1，0）或（﹣1，﹣2）.

【解析】（1）应用待定系数法进行求解即可得；

（2）分两种情况△OBA∽△OCP、△OBA∽△OPC分别讨论进行求解即可；

（3）由已知直线l′与x轴所夹锐角为45°，△EMN为等腰直角三角形，当沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形，表示点N、E′坐标带入抛物线解析式，可解；

（4）由（3）图形旋转可知，M′K′⊥直线l′，△M'FK′只能为等腰直角三角形，则分类讨论可求解．

（1）由已知点B坐标为（5，5）

把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得

，解得：，

∴抛物线的解析式为：y=；

（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=，则点C坐标为（，），

∴OC=，OB=5，

当△OBA∽△OCP时，，∴，∴OP=，

当△OBA∽△OPC时，，∴，∴OP=5，

∴点P坐标为（5，0）或（，0）；

（3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c，

∵直线l′y=x+c与x轴夹角为45°，

∴△MEN为等腰直角三角形，

当把△MEN沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形，

∴点′E坐标为（a﹣b，b），

∵EE′平行于x轴，

∴E、E′关于抛物线对称轴对称，

∵，

∴b=2a﹣3，

则点N坐标可化为（a，2a﹣3），

把点N坐标代入y=得：2a﹣3=，

解得：a1=1，a2=6，

∵a=6时，b=2a﹣3=﹣9＜0，

∴a=6舍去，

则点N坐标为（1，﹣1），

把N坐标带入y=x+c，则c=﹣2，

∴直线l′的解析式为：y=x﹣2；

（4）由（3）K点坐标为（0，﹣2），

则△MOK为等腰直角三角形，

∴△M′OK′为等腰直角三角形，M′K′⊥直线l′，

∴当M′K′=M′F时，△M'FK′为等腰直角三角形，

∴F坐标为（1，0）或（﹣1，﹣2）.