Question

如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC，点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米。

（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
（2）为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）
（3）为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）

Answer 1

解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，
设抛物线的函数解析式为y=ax²，
由题意知点A的坐标为（4，8），
∵点A在抛物线上，
∴8=a×4²，解得a=，
∴所求抛物线的函数解析式为：y=x²；
（2）做法：
延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，
则点A、D关于OC对称，
连接BD交OC于点P，则点P即为所求；
（3）由题意知点B的横坐标为2，
∵点B在抛物线上，
∴点B的坐标为（2，2），
又∵点A的坐标为（4，8），
∴点D的坐标为（﹣4，8），
设直线BD的函数解析式为y=kx+b，
∴，解得：k=-1，b=4，
∴直线BD的函数解析式为y=-x+4，
把x=0代入y=-x+4，得点P的坐标为（0，4），
两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米。