Question

1．如图，在边长为3的正方形ABCD中，E为BC上的一点，且EC=$\frac{1}{3}$BC，过E作EF⊥AE交CD于F，连接AF，把△AEF沿AF翻折到△AGF，使E点落在G处，连接DG，则DG=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 作GM⊥CD于M，由△ABE∽△ECF，得$\frac{AB}{EC}$=$\frac{EB}{CF}$，求出CF，AE，EF，发现AE=3EF，再证明△DGM∽△AFE，得$\frac{DM}{MG}$=$\frac{AE}{EF}$=3，设GM=a，则DM=3a，由DM+MF+CF=3，列出方程求出a，即可解决问题．

解答 解：作GM⊥CD于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=3，∠B=∠C=∠BAD=∠ADC=90°，
∵EC=1，
∴BE=2，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，∠FEC+∠EFC=90°，
∴∠AEB=∠EFC，
∴△ABE∽△ECF，
∴$\frac{AB}{EC}$=$\frac{EB}{CF}$，
∴$\frac{3}{1}$=$\frac{2}{FC}$，
∴CF=$\frac{2}{3}$，
在RT△AEF中，∵∠AEF=90°，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$，EF=$\sqrt{E{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
∴AE=3EF，
∵∠ADF=∠AGF=90°，
∴A、D、G、F四点共圆，
∴∠GDM=∠GAF=∠EAF，
∵∠AEF=∠DMG=90°，
∴△DGM∽△AFE，
∴$\frac{DM}{MG}$=$\frac{AE}{EF}$=3，
设GM=a，则DM=3a，
∵DM+MF+CF=3，
∴3a+$\sqrt{（\frac{\sqrt{13}}{3}）^{2}-{a}^{2}}$+$\frac{2}{3}$=3，
解得a=$\frac{2}{5}$或1（舍弃）．
∴MG=$\frac{2}{5}$，DM=$\frac{6}{5}$，
在RT△DMG中，DG=$\sqrt{D{M}^{2}+M{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2}{5}）^{2}+（\frac{6}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故答案为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查正方形的性质、相似三角形的性质和判定、四点共圆、勾股定理等知识，解题的关键是发现DM=3MG，通过设未知数列出方程解决问题，属于中考常考题型．