分析 作GM⊥CD于M,由△ABE∽△ECF,得$\frac{AB}{EC}$=$\frac{EB}{CF}$,求出CF,AE,EF,发现AE=3EF,再证明△DGM∽△AFE,得$\frac{DM}{MG}$=$\frac{AE}{EF}$=3,设GM=a,则DM=3a,由DM+MF+CF=3,列出方程求出a,即可解决问题.
解答 解:作GM⊥CD于M.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD=3,∠B=∠C=∠BAD=∠ADC=90°,
∵EC=1,
∴BE=2,
∵∠AEF=90°,
∴∠AEB+∠FEC=90°,∠FEC+∠EFC=90°,
∴∠AEB=∠EFC,
∴△ABE∽△ECF,
∴$\frac{AB}{EC}$=$\frac{EB}{CF}$,
∴$\frac{3}{1}$=$\frac{2}{FC}$,
∴CF=$\frac{2}{3}$,
在RT△AEF中,∵∠AEF=90°,AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$,EF=$\sqrt{E{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$,
∴AE=3EF,
∵∠ADF=∠AGF=90°,
∴A、D、G、F四点共圆,
∴∠GDM=∠GAF=∠EAF,
∵∠AEF=∠DMG=90°,
∴△DGM∽△AFE,
∴$\frac{DM}{MG}$=$\frac{AE}{EF}$=3,
设GM=a,则DM=3a,
∵DM+MF+CF=3,
∴3a+$\sqrt{(\frac{\sqrt{13}}{3})^{2}-{a}^{2}}$+$\frac{2}{3}$=3,
解得a=$\frac{2}{5}$或1(舍弃).
∴MG=$\frac{2}{5}$,DM=$\frac{6}{5}$,
在RT△DMG中,DG=$\sqrt{D{M}^{2}+M{G}^{2}}$=$\sqrt{(\frac{2}{5})^{2}+(\frac{6}{5})^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$.
故答案为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$.
点评 本题考查正方形的性质、相似三角形的性质和判定、四点共圆、勾股定理等知识,解题的关键是发现DM=3MG,通过设未知数列出方程解决问题,属于中考常考题型.
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