Question

【题目】如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点(与点A、D不重合)，∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G、交CD于点M．

（1）如图1，联结BD，求证：，并写出的值；

（2）联结EG，如图2，若设，求y关于的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当M为边DC的三等分点时，求的面积．

Answer 1

【答案】；；或

【解析】

（1）根据正方形的性质得到∠EDB＝∠GCB＝45°，∠ABD＝∠CBD＝45°，根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）作EH⊥AC于H，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理和相似三角形的性质得到y关于x的函数解析式；
（3）分CM＝CD和CM＝CD两种情况，根据相似三角形的性质解答即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDB＝∠GCB＝45°，∠ABD＝∠CBD＝45°，又∠EBM＝45°，
∴∠GBC＋∠DBM＝45°，∠EBD＋∠DBM＝45°，
∴∠GBC＝∠EBD，又∠EDB＝∠GCB＝45°，
∴△DEB∽△CGB，
∴DE：CG＝BD：BC＝；
（2）如图2，作EH⊥AC于H，

则AH＝EH＝x，
∵△DEB∽△CGB，
∴，
∴CG＝（6x），
∴HG＝ACAHCG＝3，
∵EG2＝EH2＋HG2，
∴；
（3）当CM＝CD＝2时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，
∴，
∴CG＝，
∴DE＝3，则AE＝3，
∴AH＝EH＝，
∵AD∥BC，
∴，
∴AF＝2，
∴GF＝ACAFCG＝，
∴S△EGF＝×FG×EH＝，
当CM＝CD＝4时，
，
∴CG＝，
∴DE＝，则AE＝，
AH＝EH＝，
∵，
∴AF＝，
∴GF＝ACAFCG＝，
∴S△EGF＝×FG×EH＝．

综上,S△EGF=或