Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，抛物线的顶点在折线上运动.

（1）当点在线段上运动时，抛物线与轴交点坐标为.

①用含的代数式表示.

②求的取值范围.

（2）当抛物线与的边有三个公共点时，试求出点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）①n=m；②；（2）或或

【解析】

（1）①设直线OA的解析式为y=kx，把点（6，6）代入可得k=1，推出y=x．因为y=-（x-m）2+n的顶点P在OA上，推出n=m．②由题意：y=-x2+2mx-m2+m，由抛物线与y轴交点坐标为（0，c），推出c=-m2+m，根据0≤m≤6，利用二次函数的性质即可解决问题；
（2）分三种情形①当抛物线经过点O时，抛物线与△ABO的边有三个公共点，
②当抛物线经过点A时，抛物线与△ABO的边有三个公共点，此时P（6，6）；
③当点P在AB上运动，抛物线与OA只有一个公共点时，抛物线与△ABO的边有三个公共点．

解：（1）①设直线的解析式为，

∵经过

∴

∴

∴

∵的顶点在上

∴

②由题意：

∵抛物线与轴交点坐标为

∴

∵点在线段上，

∴，

∵

∴当时，

当时，

∴的取值范围为

（2）①当抛物线经过点时，抛物线与的边有三个公共点，

把代入抛物线，得到或0（舍弃），此时

②当抛物线经过点时，抛物线与的边有三个公共点，此时.

③当点在上运动，抛物线与只有一个公共点时，抛物线与的边有三个公共点，

由，消去得到

由题意，∴

∴

∴

综上所述，满足条件的点坐标为或或