Question

（1）已知a+b=-5，ab=1，求

a b

+

b a

的值．
（2）已知α是方程x²-2011x+1=0的一个根，试求α2-2010α+

2011

α2+1

的值．

Answer 1

分析：（1）首先由a+b=-5，ab=1得出a、b的取值范围，然后使原式分母有理化，再由a、b的取值范围确定所求值的符号，通分化简代入求值；
（2）首先由已知得α²-2010α+1=0，则得：α²-2010α=α-1，α²+1=2011α，这里α≠0，所以得：α+

1

α

=2011，然后整体代入原式，求出α2-2010α+

2011

α2+1

的值．

解答：（1）解：∵ab=1＞0，∴a、b同号，
又∵a+b=-5＜0，∴a＜0，b＜0．
∴原式=

ab b2

+

ab a2

=

ab

|b|

+

ab

|a|

=-

ab

(

1

b

+

1

a

)
=-

ab

(

a+b

ab

)
=5；

（2）解：∵α是方程x²-2011x+1=0的一个根，
∴α²-2011α+1=0即α²-2010α=α-1，α²+1=2011α．
∵α≠0，∴α+

1

α

=2011．
原式=α-1+

2011

2011α

=α+

1

α

-1=2010．

点评：此题考查的知识点是二次根式的化简求值及一元二次方程的解，关键是体现了整体代入思想，还要注意字母的取值．