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    如图，边长为2的等边△ABC，射线AB上有一点动P（P不与点A、点B重合），以PC为边作等边△PDC，点D与点A在BC同侧，E为AC中点，连接AD、PE、ED．

    （1）试探讨四边形ABCD的形状，并说明理由．
    （2）当点P在线段AB上运动，（不与点A、点B重合），若BP=x，四边形APED的面积是否为定值呢？请说明理由．
    （3）在第（2）问的条件下，若BP=x，△PDE的面积为y，求出y与x之间的函数关系式，并求出△PDE的面积的最小值，及取得最小值时x的取值．
    分析：（1）点P的位置有两种情况：①若点P在线段AB上，先利用SAS证明△ADC≌△BPC，得出∠DAC=∠B=∠BCA=60°，则AD∥BC．再由∠B+∠DCB＜180°，得出DC与AB不平行，进而得出四边形ABCD是梯形；②若点P在线段AB的延长线上，先证明P、D、A、C四点共圆，则∠DAP=∠DCP=60°=∠ABC，则AD∥BC．再由P点的位置不确定，得出BP与AB不一定相等，即AD与BC不一定相等，则当BP≠AB时，四边形ADBC是梯形；当BP=AB时，四边形ADBC是菱形；
    （2）先由（1）知AD=BP=x，∠DAE=∠B=60°，再根据三角形的面积公式得到S△ADE=
    1
    2
    AD•AE•sin∠DAE=
    		3
    4
    x，S△APE=
    1
    2
    AP•AE•sin∠PAE=
    		3
    2
    -
    		3
    4
    x，然后求出S四边形APED=S△ADE+S△APE=
    		3
    2
    ，即可得到四边形APED的面积是为定值；
    （3）过P作DA延长线的垂线PM，垂足为M．由三角形的面积公式求出S△ADP=
    1
    2
    AD•PM=
    		3
    2
    x-
    		3
    4
    x2，根据S△PDE=S四边形APED-S△ADP得出y=
    		3
    4
    x2-
    		3
    2
    x+
    		3
    2
    ，运用配方法写成顶点式，根据二次函数的性质即可求解．
    解答：解：（1）点P的位置有两种情况：
    ①若点P在线段AB上，如图1，四边形ABCD是梯形．理由如下：
    ∵△ABC与△CPD都是等边三角形，
    ∴∠ACB=∠DCP=60°，
    ∴∠DCA=∠PCB，
    又AC=BC，DC=PC，
    ∴△ADC≌△BPC，
    ∴∠DAC=∠B=∠BCA=60°，
    ∴AD∥BC．
    又∠DCA=∠PCB＜60°，
    ∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=∠DCA+60°＜120°，
    ∴∠B+∠DCB＜180°，
    ∴DC与AB不平行，
    ∴四边形ABCD是梯形；
    ②若点P在线段AB的延长线上，如图2，四边形ADBC是梯形或菱形．理由如下：
    ∵∠PAC=∠PDC=60°，
    ∴P、D、A、C四点共圆，
    ∴∠DAP=∠DCP=60°，
    ∵∠ABC=60°，
    ∴∠DAP=∠ABC，
    ∴AD∥BC．
    易证△ADC≌△BPC（SAS），
    ∴AD=BP，
    ∵点P在线段AB的延长线上，
    ∴P点的位置不确定，BP与AB不一定相等，
    ∵AB=BC，
    ∴AD与BC不一定相等，
    当BP≠AB时，四边形ADBC是梯形；
    当BP=AB时，四边形ADBC是菱形；

    （2）四边形APED的面积是为定值．理由如下：
    由（1）知AD=BP=x，∠DAE=∠B=60°，
    ∵AB=2，∴AP=2-x．
    ∵S△ADE=
    1
    2
    AD•AE•sin∠DAE=
    1
    2
    x×1×
    		3
    2
    =
    		3
    4
    x，
    S△APE=
    1
    2
    AP•AE•sin∠PAE=
    1
    2
    （2-x）×1×
    		3
    2
    =
    		3
    2
    -
    		3
    4
    x，
    ∴S四边形APED=S△ADE+S△APE=
    		3
    4
    x+（
    		3
    2
    -
    		3
    4
    x）=
    		3
    2
    ，
    ∴四边形APED的面积是为定值；

    （3）由（1）知∠BAD=120°，过P作DA延长线的垂线PM，垂足为M，∠PAM=60°，∠APM=30°，
    ∴PM=
    		3
    2
    （2-x），
    ∴S△ADP=
    1
    2
    AD•PM=
    1
    2
    x×
    		3
    2
    （2-x）=
    		3
    2
    x-
    		3
    4
    x2，
    由题意，知S△PDE=S四边形APED-S△ADP
    ∴y=
    		3
    2
    -（
    		3
    2
    x-
    		3
    4
    x2）=
    		3
    4
    x2-
    		3
    2
    x+
    		3
    2
    =
    		3
    4
    （x-1）2+
    		3
    4
    ，
    ∴当x=1时，y有最小值
    		3
    4
    ，
    即当x取1时，△PDE的面积有最小值，最小值为
    		3
    4
    ．
    点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，四点共圆的条件，梯形的判定，图形的面积，二次函数的性质等知识，综合性较强，难度较大．准确地作出辅助线是解题的关键．
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    kx
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    度后．

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    x=a
    y=b
    是方程组
    2(
    		5
    +1)x-3
    		3
    y=m2+p-8
    (
    		5
    +1)x-
    2
    3
    		3
    y=m-2p
    的解？若存在，求二次函数y=px2-2px+
    p+pm
    m
    的最大值或最小值；若不存在，说明理由．

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    1.5
    1.5
    ．

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