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(2006•滨州)已知:抛物线M:y=x2+(m-1)x+(m-2)与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1<x2
(Ⅰ)若x1x2<0,且m为正整数,求抛物线M的解析式;
(Ⅱ)若x1<1,x2>1,求m的取值范围;
(Ⅲ)试判断是否存在m,使经过点A和点B的圆与y轴相切于点C(0,2)?若存在,求出M:y=x2+(m-1)x+(m-2)的值;若不存在,试说明理由;
(Ⅳ)若直线l:y=kx+b过点F(0,7),与(Ⅰ)中的抛物线M相交于P,Q两点,且使,求直线l的解析式.
【答案】分析:(1)本题有多种解法.首先由题意可得x1x2=m-2<0,可求出m值,然后根据题意求出解析式即可.
(2)已知题意x1<1,x2>1推出(x1-1)(x2-1)<0,然后可知x1+x2=-(m-1),x1x2=m-2,代入等式可解.
(3)存在.根据题意因为过A,B两点的圆与y轴相切于点C(0,2),所以A,B两点在y轴的同侧,故x1x2>0,
再根据圆的切割线定理得知OC2=OA•OB.
(4)首先分别假设P.Q的坐标为(x1,y1),(x2,y2).由平行线定理求出x2与x1的等量关系.再证明△FP2P∽△FQ2Q,求出x1的值,根据实际情况取值.
解答:解:(1)解法一:由题意得,x1x2=m-2<0.(1分)
解得,m<2.
∵m为正整数,
∴m=1.
∴y=x2-1.(2分)
解法二:由题意知,当x=0时,y=02+(m-1)×0+(m-2)<0.(1分)
(以下同解法一)
解法三:∵△=(m-1)2-4(m-2)=(m-3)2
∴x=
∴x1=-1,x2=2-m.
又∵x1x2<0,
∴x2=2-m>0.(1分)
∴m<2.
(以下同解法一.)
解法四:令y=0,即x2+(m-1)x+(m-2)=0,
∴(x+1)(x+m-2)=0
∴x1=-1,x2=2-m.
(以下同解法三.)

(2)解法一:∵x1<1,x2>1,
∴x1-1<0,x2-1>0.
∴(x1-1)(x2-1)<0,
即x1x2-(x1+x2)+1<0.(3分)
∵x1+x2=-(m-1),x1x2=m-2,
∴(m-2)+(m-1)+1<0.(4分)
解得m<1.
∴m的取值范围是m<1.(5分)
解法二:由题意知,当x=1时,
y=1+(m-1)+(m-2)<0.(4分)
解得:m<1.
∴m的取值范围是m<1.(5分)
解法三:由(Ⅰ)的解法三、四知,x1=-1,x2=2-m.
∵x1<1,x2>1,
∴2-m>1,(4分)
∴m<1.
∴m的取值范围是m<1.(5分)

(3)存在.
解法一:因为过A,B两点的圆与y轴相切于点C(0,2),
所以A,B两点在y轴的同侧,
∴x1x2>0.(6分)
由切割线定理知,OC2=OA•OB,(7分)
即22=|x1||x2|.
∴|x1x2|=4
∴x1x2=4.
∴m-2=4.
∴m=6.(8分)
解法二:连接O'B,O'C.
圆心所在直线,(6分)
设直线与x轴交于点D,圆心为O',
则O'D=OC=2,O'C=OD=
∵AB=|x2-x1|==|m-3|,BD=
.(7分)
在Rt△O′DB中,
O'D2+DB2=O'B2

解得m=6.(8分)

(4)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1=x12-1,y2=x22-1.
过P,Q分别向x轴引垂线,垂足分别为P1(x1,0),Q(x2,0).
则PP1∥FO∥QQ1
所以由平行线分线段成比例定理知,
因此,,即x2=-2x1.(9分)
过P,Q分别向y轴引垂线,垂足分别为P2(0,y1),Q2(0,y2),
则PP2∥QQ2.所以△FP2P∽△FQ2Q.


∴21-2y1=y2.(10分)
∴21-2(x12-1)=x22-1
∴23-2x12=4x12-1
∴x12=4,
∴x1=2,或x1=-2.(11分)
当x1=2时,点P(2,3).
∵直线l过P(2,3),F(0,7),

解得
当x1=-2时,点P(-2,3).
∵直线l过P(-2,3),F(0,7),

解得
故所求直线l的解析式为:y=2x+7,或y=-2x+7.(12分)
点评:[点评]本题对学生有一定的能力要求,涉及了初中数学的大部分重点章节的重点知识,是一道选拔功能卓越的好题.
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