Question

如图，已知抛物线y＝2x²－4x＋m与x轴交于不同的两点A、B，其顶点是C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点．

(1)求实数m的取值范围；

(2)求顶点C的坐标和线段AB的长度(用含有m的式子表示)；

(3)若直线分别交x轴、y轴于点E、F，问△BDC与△EOF是否有可能全等，如果可能，请证明；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵抛物线y＝2x2－4x＋m与x轴交于不同的两个点，∴关于x的方程2x2－4x＋m＝0有两个不相等的实数根．∴△＝(－4)2－4·2m＞0，∴m＜2． 　　(2)由y＝2x2－4x＋m＝2(x－1)2＋m－2，得顶点C的坐标是(1，m－2)．由2x2－4x＋m＝0，解得，x1＝1＋或x2＝1－． 　　∴AB＝(1＋)－(1－)＝． 　　(3)可能． 　　证明：由y＝x＋1分别交x轴、y轴于点E、F，得E(－，0)，F(0，1)．∴OE＝，OF＝1．而BD＝，DC＝2－m．当OE＝BD，得，解得m＝1．此时OF＝OC＝1． 　　又∵∠EOF＝∠CDB＝90°，∴△BDC≌△EOF．∴△BDC与△EOF有可能全等．

提示：

本题是一元二次方程，二次函数与直线形的综合考查题，由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，则△＞0；求AB的长度可用简化公式； 　　(3)要求判断△BDC与△EOF是否有可能全等，即指探索全等的可能性，本题已有∠CDB＝∠EOF＝90°，BD与OE或OF都可能是对应边，证出其中一种情形成立即可，解题时要注意“有可能”这个关键词．