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    如图，矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将长和宽都增加xcm，那么面积增加ycm2．
    （1）求y与x的函数表达式；
    （2）求当边长增加多少时，面积增加8cm2．
    （1）由题意可得：（4+x）（3+x）-3×4=y，
    化简得：y=x2+7x；

    （2）把y=8代入解析式y=x2+7x中得：x2+7x-8=0，
    解之得：x1=1，x2=-8（舍去）．
    ∴当边长增加1cm时，面积增加8cm2
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=-
    		3
    3
    x+
    2
    		3
    3
    交x轴于点C，交y轴于点A．等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合，如图A所示．把三角板绕着点O顺时针旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），使B点恰好落在AC上的B'处，如图B所示．
    （1）求图A中的点B的坐标；
    （2）求α的值；
    （3）若二次函数y=mx2+3x的图象经过（1）中的点B，判断点B′是否在这条抛物线上，并说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图所示，已知抛物线的对称轴为直线x=4，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A、C坐标为（2，0）、（0，3）．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）抛物线上有一点P，使以PC为直径的圆过B点，求P的坐标；
    （3）在满足（2）的条件下，x轴上是否存在点E，使得△COE与△PBC相似？若存在，求出E的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，设抛物线C1：y=a（x+1）2-5，C2：y=-a（x-1）2+5，C1与C2的交点为A，B，点A的坐标是（2，4），点B的横坐标是-2．
    （1）求a的值及点B的坐标；
    （2）点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG．记过C2顶点M的直线为l，且l与x轴交于点N．
    ①若l过△DHG的顶点G，点D的坐标为（1，2），求点N的横坐标；
    ②若l与△DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知抛物线y=mx2+（3-m）x+m2+m交x轴于C（x1，0），D（x2，0）两点，（x1＜x2）且（x1+1）（x2+1）=5
    （1）试确定m的值；
    （2）过点A（-1，-5）和抛物线的顶点M的直线交x轴于点B，求B点的坐标；
    （3）设点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点（含C、M点），△POQ是以PO为腰、底边OQ在x轴上的等腰三角形，过点Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连接PR．设△PQR的面积为S，求S与a之间的函数关系式．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线的对称轴是直线x=2，顶点A的纵坐标为1，点B（4，0）在此抛物线上．

    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）若此抛物线对称轴与x轴交点为C，点D（x，y）为抛物线上一动点，过点D作直线y=2的垂线，垂足为E．
    ①用含y的代数式表示CD2，并猜想CD2与DE2之间的数量关系，请给出证明；
    ②在此抛物线上是否存在点D，使∠EDC=120°？如果存在，请直接写出D点坐标；如果不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）（x＜0），连接BP，过P点作PC⊥PB交过点A的直线a于点C（2，y）
    （1）求y与x之间的函数关系式；
    （2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数．
    （1）求k的值；
    （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
    （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=
    1
    2
    x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图1，在平面直角坐标系中，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．现将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上（如图2），设抛物线y=ax2+bx+c（a＜0），如果抛物线同时经过点O、B、C：
    ①当n=3时a=______；
    ②a关于n的关系式是______．

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