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9.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+c经过点A(1,-1),直线y=x+2与y轴交于点B、与抛物线在第一象限相交于点C,如果且∠BCO=∠OBA,求此抛物线的表达式.

分析 由于点B是直线y=x+2与y轴的交点,可求得B点坐标,从而可求得OB的长,再根据△OBC∽△AOB得到OB2=OA×BC,可求得BC的长,从而求出点C坐标,即可求得抛物线解析式.

解答 解:
∵直线y=x+2与y轴交于点B,令x=0可得y=2,令y=0可得x=-2,
∴B(0,2),D(-2,0),
∴OB=OD=2,
∴∠OBD=45°,
∴∠OBC=135°,
∵A(1,1),
∴OA=$\sqrt{2}$,∠AOB=135°,
∴∠OBC=∠AOB,且∠BCO=∠OBA,
∴△OBC∽△AOB,
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{BC}{OB}$,即$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\frac{BC}{2}$,
∴BC=2$\sqrt{2}$,
∵点C在直线y=x+2上,
∴可设点C坐标为(m,m+2),
∵点C在第一象限,
∴m>0
∴BC=$\sqrt{{m}^{2}+(m+2-2)^{2}}$=$\sqrt{2}$m,
∴$\sqrt{2}$m=2$\sqrt{2}$,解得m=2,
∴C(2,4),
∵抛物线经过A、C,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+c=-1}\\{4a+c=4}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{3}}\\{c=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$,
∴抛物线解析式为y=$\frac{5}{3}$x2-$\frac{8}{3}$.

点评 本题为二次函数综合应用,主要考查了确定抛物线解析式,对称轴的方法,相似三角形的性质和判定,解本题的关键是判定三角形相似.

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x
y
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