Question

2．已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：CF=BE；
（2）若AB=6，AC=3，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连CD、BD，如图，根据角平行线的性质定理得到DE=DF，根据线段垂直平分线的性质得CD=BD，则可利用“HL“证明Rt△CDF≌Rt△BDE，从而得到BE=CF；
（2）先证明Rt△ADF≌Rt△ADE得到AE=AF，设BE=CF=x，则AE=6-x，而AE=AF=AC+CF=3+x，则3+x=6-x，然后解方程求出x即可．

解答 解：（1）连CD、BD，如图，

∵AD平分∠BAE，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
又∵DG垂直平分BC，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF；

（2）在Rt△ADF和Rt△ADE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AE=AF，
设BE=CF=x，则AE=6-x，
∵AF=AC+CF=3+x，
∴3+x=6-x，解得x=$\frac{3}{2}$，
即BE=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了角平分线的性质．