Question

矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6，0)、C(0，3)，直线与BC边相交于点D.

（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线经过A、D两点，试确定此抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标.

Answer 1

(1)点D的坐标为(2,3);
(2) 抛物线的解析式为;
(3) 符合条件的点P有两个，P₁ (3，0)、P₂ (3，-4).

试题分析：（1）有题目所给信息可以知道，BC线上所有的点的纵坐标都是3，又有D在直线上，代入后求解可以得出答案．
（2）A、D，两点坐标已知，把它们代入二次函数解析式中，得出两个二元一次方程，联立求解可以得出答案．
（3）由题目分析可以知道∠B=90°，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，所以应有∠APM、∠AMP或者∠MAP等于90°，很明显∠AMP不可能等于90°，所以有两种情况．
解：(1) ∵四边形OABC为矩形，C(0,3)
∴BC∥OA，点D的纵坐标为3.
∵直线与BC边相交于点D，
∴. ∴点D的坐标为(2,3).
(2) ∵若抛物线经过A(6,0)、D(2,3)两点，
∴
解得：∴抛物线的解析式为
(3) ∵抛物线的对称轴为x=3，
设对称轴x=3与x轴交于点P₁，∴BA∥MP₁，
∴∠BAD=∠AMP₁.

①∵∠AP₁M=∠ABD=90°，∴△ABD∽△AMP₁.
∴P₁ (3，0).
②当∠MAP₂=∠ABD=90°时，△ABD∽△MAP_2.
∴∠AP₂M=∠ADB
∵AP₁=AB，∠AP₁ P₂=∠ABD=90°
∴△AP₁ P₂≌△ABD
∴P₁ P₂=BD=4
∵点P₂在第四象限，∴P₂ (3，-4). 
∴符合条件的点P有两个，P₁ (3，0)、P₂ (3，-4).