Question

12．如图，等边△ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总有AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G．
（1）在点D、E运动的过程中，∠AFD的大小是否发生变化？若不变，请求出∠AFD的度数；若变化，请说明理由；
（2）在点D、E运动的过程中，线段FG与AF之间有何数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质得出∠CAD=∠B=60°，AB=AC，进而利用全等三角形的判定得出△ACD≌△ABE，即可利用外角性质得出结论；
（2）利用（1）中所求以及利用在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半得出即可．

解答 解：（1）不变，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAD=∠B=60°，AB=AC，
在△ACD和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAD=∠B}\\{AD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ACD=∠BAE，
∴∠AFD=∠ACD+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠CAD=60°；

（2）AF=2FG，
理由：∵AG⊥CD，
∵∠AFD=60°，
∴∠FAG=30°，
∴FG=$\frac{1}{2}$AF，
即AF=2FG．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练利用全等三角形的判定得出△ABE≌△CAD是解题关键．