Question

已知关于x的方程x²+2（1+a）x+（3a²+4ab+4b²+2）=0有实根．若在直角坐标系xOy中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（a，5），Q（b，1）的距离分别为MP和MQ，当点M的横坐标的值是多少时，MP+MQ的值最小？

Answer 1

分析：由关于x的方程有实根，得到根的判别式大于等于0，把得到的不等式配方变形，根据两非负数相加小于等于0，必需分别为0求出a与b的值，进而确定出P与Q的坐标，作出Q关于x轴的对称点Q′，连接PQ′，由对称知识得到MP+MQ=PQ′，根据两点之间线段最短得到MP+MQ的值最小为PQ′，由Q关于x轴对称的特点求出Q′的坐标，再加上P的坐标，代入直线PQ′：y=kx+b中，求出k与b的值，确定出直线PQ′的解析式，令y=0求出M的横坐标，然后在直角三角形PQ′N中，根据勾股定理即可求出满足题意的最小值．

解答：解：由题意得：
△=4（1+a）²-4×（3a²+4ab+4b²+2）≥0，
∴（a-1）²+（a+2b）²≤0，
∴a=1，b=-

1

2

，（2分）
则P（1，5），Q(-

1

2

，1)，
根据题意画出图形，如图所示：
作出Q关于x轴的对称点Q′，连接PQ′，与x轴交于点M，连接QM，
此时QM=Q′M，MP+MQ=MP+MQ′=PQ′最小，
则MP+MQ的值最小时，Q′(-

1

2

，-1)，（3分）又P（1，5），
在直角三角形PQ′N中，根据勾股定理得：
PQ′=

62+( 3 2 )2

=

153

2

=

3 17

2

．
则当点M的横坐标为-

1

4

时，MP+MQ的最小值为

153

2

=

3 17

2

．（2分）

点评：此题综合考查了一元二次方程解的判别方法，关于x轴对称点的求法，勾股定理以及有关一次函数的知识．要求学生会利用“两点法”确定一次函数的解析式，本题的关键和难点是找出Q关于x轴的对应点，连接P于此对应点的线段即为最短距离，利用数形结合的数学思想解决实际问题．