Question

3．如图，抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求该抛物线的函数关系式．
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形OCDB的面积．

Answer 1

分析 （1）将A、C两点的坐标代入解析式中即可求出a与b的值．
（2）根据解析式求出点D的坐标，过点D作DE⊥x轴于点E，求出DE，OE、BE、OC和OE的长度，然后根据梯形面积和三角形面积即可求出答案．

解答 解：（1）将A（-1，0）、C（0，4）代入y=ax²+bx-4a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b-4a}\\{4=-4a}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为：y=-x²+3x+4
（2）由（1）可知：y=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），
令y=0代入y=-x²+3x+4，
∴x=-1或x=4，
∴B（4，0）
∴DE=$\frac{25}{4}$，AE=$\frac{3}{2}$，BE=$\frac{5}{2}$，OC=4，OE=$\frac{3}{2}$
∴梯形OCDE的面积为：$\frac{1}{2}$（DE+OC）•OE=$\frac{123}{16}$，
△DEB的面积为：$\frac{1}{2}$BE•DE=$\frac{125}{16}$，
∴四边形OCDB的面积为：$\frac{123}{16}$+$\frac{125}{16}$=$\frac{31}{2}$

点评 本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是根据条件求出二次函数的解析式，然后求出相关线段的出长度后，根据梯形面积和三角形面积即可求出答案．本题属于中等题型．