Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠BAC=∠CAD，过点C作CE⊥AD，垂足为E．
（1）试判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=10，AC=8，求CE．

Answer 1

解：（1）EC是⊙O的切线
证明：∵∠BAC=∠CAD，而∠ACB、∠E同为直角，
∴∠ECA=∠B；
∴EC是⊙O的切线．

（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵AB=10，AC=8，
∴BC=6，
∵∠CAE=∠BAC，
∠BCA=∠CEA=90°，
∴△ACB∽△AEC，
∴=，
∴=，
∴CE=4.8．
分析：（1）由于∠BAC=∠CAD，而∠ACB、∠E同为直角，可知：∠ECA=∠B，可知EC是⊙O的切线，由此得证．
（2）首先在Rt△ABC中，利用勾股定理求得BC的值，再利用三角形相似对应边比值相等，即可得解．
点评：此题主要考查的是切线的性质、弦切角定理以及解直角三角形的相关知识，难度不大．