Question

【题目】已知：如图，B,C,D三点在 上，，PA是钝角△ABC的高线，PA的延长线与线段CD交于点E.

（1）请在图中找出一个与∠CAP相等的角，这个角是 ；

（2）用等式表示线段AC，EC，ED之间的数量关系，并证明.

Answer 1

【答案】（1） ∠BAP；（2）AC，EC，ED满足的数量关系：EC2+ED2=2AC2. 证明见解析.

【解析】

（1）根据等腰三角形ABC三线合一解答即可；

（2）连接EB，由PA是△CAB的垂直平分线，得到EC=EB.，∠ECP=∠EBP，∠ECA=∠EBA. 然后推出∠BAD=∠BED=90°，利用勾股定理可得EB2+ED2=BD2，找到BD2=2AB2,代入可求的EC2+ED2=2AC2的等量关系即可.

（1）∵等腰三角形ABC 且PA是钝角△ABC的高线

∴PA是∠CAB的角平分线

∴∠CAP=∠BAP

（2）AC，EC，ED满足的数量关系：EC2+ED2=2AC2.

证明：连接EB，与AD交于点F

∵点B，C两点在⊙A上,

∴AC=AB，

∴∠ACP=∠ABP.

∵PA是钝角△ABC的高线,

∴PA是△CAB的垂直平分线.

∵PA的延长线与线段CD交于点E，

∴EC=EB.

∴∠ECP=∠EBP.

∴∠ECP—∠ACP =∠EBP —∠ABP.

即∠ECA=∠EBA.

∵AC=AD，

∴∠ECA=∠EDA

∴∠EBA=∠EDA

∵∠AFB=∠EFD, ∠BCD=45°,

∴∠AFB+∠EBA =∠EFD+∠EDA=90°

即∠BAD=∠BED=90°

∴EB2+ED2=BD2.

∵BD2=AB2+AD2，

∴ BD2=2AB2,

∴EB2+ED2=2AB2，

∴EC2+ED2=2AC2