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(2013•樊城区模拟)矩形ABCD中,AD=32厘米,AB=24厘米,点P是线段AD上一动点,O为BD的中点,PO的延长线交BC于Q.若P从点A出发,以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时间为t秒,则t=
7或25
7或25
秒时,点P和Q与点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是菱形.
分析:分两种情况:①如果四边形PBQD是菱形,则PD=BP=32-t,在Rt△ABP中,根据勾股定理得出AB2+AP2=BP2,列出关于t的方程,解方程求出t的值;②如果四边形APCQ是菱形,则AP=AQ=CQ=t,在Rt△ABQ中,根据勾股定理得出AB2+BQ2=AQ2,列出关于t的方程,解方程求出t的值.
解答:解:分两种情况:
①如果四边形PBQD是菱形,则PD=BP=32-t,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
在Rt△ABP中,由勾股定理得:AB2+AP2=BP2
即242+t2=(32-t)2
解得:t=7,即运动时间为7秒时,四边形PBQD是菱形;
②如果四边形APCQ是菱形,则AP=AQ=CQ=t.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABQ=90°,
在Rt△ABQ中,由勾股定理得:AB2+BQ2=AQ2
即242+(32-t)2=t2
解得:t=25,即运动时间为25秒时,四边形ACPQ是菱形.
故答案为7或25.
点评:本题主要考查了矩形的性质,菱形的判定与性质,勾股定理,运用数形结合及方程思想是解本题的关键.
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