Question

2．如图，把面积为a的正三角形ABC的各边依次循环延长一倍，顺次连接这三条线段的外端点，这样操作后，可以得到一个新的正三角形DEF；对新三角形重复上述过程，经过2016次操作后，所得正三角形的面积是7²⁰¹⁶a．

Answer 1

分析 连接CD、AE、BF，利用同底等高的三角形面积相等，可得S_△ABC=S_△BDC=S_△CDE=a，同理：S_△ABC=S_△ACE=S_△AEF=a、S_△ABC=S_△ABF=S_△BDF=a，再利用S_△DEF等于7个三角形面积之和，即可求得第一次操作后所得正三角形面积，同理即可得经过2016次操作后，所得正三角形的面积．

解答 解：如图，连接CD、AE、BF，

∵AB=BD，
∴S_△ABC=S_△BDC，
又∵BC=CE，
∴S_△BCD=S_△CDE，
∴S_△ABC=S_△BDC=S_△CDE=a，
同理：S_△ABC=S_△ACE=S_△AEF=a，
S_△ABC=S_△ABF=S_△BDF=a，
∴第一次操作后，S_△DEF=7a，
∴同理，经过2016次操作后，所得正三角形的面积是7²⁰¹⁶a，
故答案为：7²⁰¹⁶a．

点评 本题考查了三角形面积、同底等高的三角形面积相等．关键是作辅助线，构造同底等高的三角形．