Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；
（3）当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

分析：此题有三问，（1）证明△ABD∽△DCE，已经有∠B=∠C，只需要再找一对角相等就可以了；
（2）由（1）证得△ABD∽△DCE，有相似就线段成比例，于是利用（1）的结果可证得（2）；
（3）当△ABD∽△DCE时，可能是DA=DE，也可能是ED=EA，所以要分两种情况证明结论．

解答：（1）证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵∠ADE=45°，
∴∠BDA+∠CDE=135°．
又∠BDA+∠BAD=135°，
∴∠BAD=∠CDE．
∴△ABD∽△DCE．

（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴

AB

CD

=

BD

CE

；
∵BD=x，
∴CD=BC-BD=

2

-x．
∴

1

2 -x

=

x

CE

，
∴CE=

2

x-x²．
∴AE=AC-CE=1-（

2

x-x²）=x²-

2

x+1．
即y=x²-

2

x+1．

（3）解：∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，
∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE．
又∵△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE．
∴CD=AB=1．
∴BD=

2

-1．
∵BD=CE，
∴AE=AC-CE=2-

2

．
当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA．
∵∠ADE=45°，
∴此时有∠DEA=90°．
即△ADE为等腰直角三角形．
∴AE=DE=

1

2

AC=

1

2

．
当AD=EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去，
因此AE的长为2-

2

或

1

2

．

点评：此题三个问题各有特点，却又紧密相联，第一个问题考查的是三角形的相似；第二个问题看起来是考查的函数但却与第一问紧密相联，运用第一问的结论即可顺利解决；第三问的关键是分类讨论，要考虑等腰的几种不同情况．