Question

如图，⊙O₁和⊙O₂外切于点A，BC是⊙O₁和⊙O₂的外公切线，B、C为切点．AT为内公切线，AT与BC相交于点T．延长BA、CA，分别与两圆交于点E、F．
（1）求证：AB•AC=AE•AF；
（2）若AT=2，⊙O₁与⊙O₂的半径之比为1：3，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：连接BF、CE；
∵TA是两圆的公切线，
∴∠TAB=∠BFA，∠NAE=∠ACE；
∵∠TAB=∠NAE，
∴∠BFA=∠ACE；
∴BF∥CE；
∴△BAF∽△EAC；
∴，即AB•AC=AE•AF；

（2）解：连接O₁O₂，过O₁作O₁M⊥EC于M；
∵TA、BC都是两圆的切线，
∴TB=TA=TC，即△BAC是Rt△，且∠BAC=90°；
∴∠BAF=∠CAE=90°；
∴BF、EC分别是两圆的直径；
设⊙₁的半径为R，则⊙O₂的半径为3R；
Rt△O₁O₂M中，O₁O₂=R+3R=4R，O₂M=3R-R=2R；
∴∠O₁O₂M=60°，O₁O₂=O₁M÷sin60°；
∵O₁M=BC=2TA=4，则O₁O₂=；
∴O₂A=2；
Rt△EAC中，EC=2O₂A=4，∠E=∠O₁O₂M=30°；
∴AE=EC•cos30°=6．
分析：（1）将所求的乘积式化为比例式，连接BF、CE，通过证比例线段所在的三角形相似即可；
（2）由于BC、TA都是两圆的切线，由切线长定理知TA=TB=TC，由此可得到∠BAC=90°，即△BAF、△ECA都是Rt△，那么FB、EC必为两圆的直径；连接O₁O₂，过O₁作EC的垂线设垂足为M；在Rt△O₁O₂M中，根据O₁O₂及O₂M的长，可求得∠O₁O₂的度数，即可得到O₁O₂的长及两圆半径的值；在Rt△AEC中，由圆周角定理易得到∠AEC的度数，进而可通过解直角三角形求得AE的长．
点评：此题主要考查了弦切角定理、切线长定理、直角三角形的判定和性质等知识的综合应用，能够发现△EAC、△FAB是直角三角形是解答（2）题的关键．