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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折线BC-CD向点D运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F的运动时间为t秒．
    （1）点F在边BC上．
    ①如图1，连接DE，AF，若DE⊥AF，求t的值；
    ②如图2，连结EF，DF，当t为何值时，△EBF与△DCF相似？
    （2）如图3，若点G是边AD的中点，BG，EF相交于点O，试探究：是否存在在某一时刻t，使得
    BO
    OG
    =
    1
    6
    ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
    考点：四边形综合题
    专题：几何综合题
    分析：（1）①利用正方形的性质及条件，得出△ABF≌△DAE，由AE=BF列式计算．
    ②利用△EBF∽△DCF，得出
    EB
    DC
    =
    BF
    FC
    ，列出方程求解．
    （2）①0＜t≤2时如图3，以点B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，先求出EF所在的直线和BG所在的直线函数关系式，再利用勾股定理求出BG，运用
    BO
    OG
    =
    1
    6
    ，求出点O的坐标，把O的坐标代入EF所在的直线函数关系式求解．②当t＞2时如图4，以点B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，先求出EF所在的直线和BG所在的直线函数关系式，再利用勾股定理求出BG，运用
    BO
    OG
    =
    1
    6
    ，求出点O的坐标，把O的坐标代入EF所在的直线函数关系式求解．
    解答：解：（1）①如图1
    ∵DE⊥AF，
    ∴∠AOE=90°，
    ∴∠BAF+∠AEO=90°，
    ∵∠ADE+∠AEO=90°，
    ∴∠BAF=∠ADE，
    又∵四边形ABCD是正方形，
    ∴AB=AD，∠ABF=∠DAE=90°，
    在△ABF和△DAE中，
    ∠BAF=∠ADE
    AB=AD
    ∠ABF=∠DAE
    ，
    ∴△ABF≌△DAE（ASA）
    ∴AE=BF，
    ∴1+t=2t，
    解得t=1．
    ②如图2，
    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴AB=BC=CD=4，
    ∵BF=2t，AE=1+t，
    ∴FC=4-2t，BE=4-1-t=3-t，
    当△EBF∽△DCF时，
    EB
    DC
    =
    BF
    FC
    ，
    ∴
    3-t
    4
    =
    2t
    4-2t
    ，
    解得，t=
    9-
    		57
    2
    ，t=
    9+
    		57
    2
    （舍去），
    故t=
    9-
    		57
    2
    ．
    当△EBF∽△FCD时，
    BE
    FC
    =
    BF
    CD
    ，
    ∴
    3-t
    4-2t
    =
    2t
    4
    ，
    ∴t2-3t+3=0，方程没有实数根，
    所以当t=
    9-
    		57
    2
    时，△EBF与△DCF相似；

    （2）①0＜t≤2时，如图3，以点B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，
    A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（2t，0），E的坐标（0，3-t）
    EF所在的直线函数关系式是：y=
    t-3
    2t
    x+3-t，
    BG所在的直线函数关系式是：y=2x，
    ∵BG=
    		22+42
    =2
    		5

    ∵
    BO
    OG
    =
    1
    6
    ，
    ∴BO=
    2
    		5
    7
    ，OG=
    12
    		5
    7
    ，
    设O的坐标为（a，b），
    a2+b2=
    20
    49
    b=2a

    解得
    a=
    2
    7
    b=
    4
    7

    ∴O的坐标为（
    2
    7
    ，
    4
    7
    ）
    把O的坐标为（
    2
    7
    ，
    4
    7
    ）代入y=
    t-3
    2t
    x+3-t，得
    4
    7
    =
    t-3
    2t
    ×
    2
    7
    +3-t，
    解得，t=
    9+2
    		15
    7
    （舍去），t=
    9-2
    		15
    7
    ，
    ②当3≥t＞2时如图4，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，
    A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（4，2t-4），E的坐标（0，3-t），
    EF所在的直线函数关系式是：y=
    3t-7
    4
    x+3-t，
    BG所在的直线函数关系式是：y=2x，
    ∵BG=
    		22+42
    =2
    		5

    ∵
    BO
    OG
    =
    1
    6
    ，
    ∴BO=
    2
    		5
    7
    ，OG=
    12
    		5
    7
    ，
    设O的坐标为（a，b），
    a2+b2=
    20
    49
    b=2a

    解得
    a=
    2
    7
    b=
    4
    7

    ∴O的坐标为（
    2
    7
    ，
    4
    7
    ）
    把O的坐标为（
    2
    7
    ，
    4
    7
    ）代入y=
    3t-7
    4
    x+3-t，得
    4
    7
    =
    3t-7
    4
    ×
    2
    7
    +3-t，
    解得：t=
    27
    11
    ．
    综上所述，存在t=
    9-2
    		15
    7
    或t=
    27
    11
    ，使得
    BO
    OG
    =
    1
    6
    ．
    点评：本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是把四边形与坐标系相结合求解．
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    2
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    1
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    ；结论：
     
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    		3
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    		2
    ，连接AC．
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    （2）求过点A，C，D的抛物线的函数解析式；
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    路程（m） 0 4.375 7.5 9.375 10
    （1）求vt与t的函数关系式，并求t的取值范围
    （2）求t秒内小球所走的路程S的函数关系式和S的最大距离．
    （3）若行驶的路程不小于7.5m，试根据s与t的图象，求小球运动的时间段．

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