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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=12，点P从点A出发沿AC边向点C以每秒1个单位的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒1个单位的速度移动，点P、Q同时出发，设移动时间为t秒（t＞0）．
    （1）求t为何值时，PQ∥AB；
    （2）设△PCQ的面积为y，求y与t的函数关系式，并求出当t为何值时，△PCQ的面积最大，最大面积是多少；
    （3）设点C关于直线PQ的对称点为D，求t为何值时，四边形PCQD是正方形；
    （4）当得到正方形PCQD后，点P不再沿AC边移动，但正方形PCQD沿CB边向B点以每秒1个单位的速度移动，当点Q与点B重合时，停止移动，设运动中的正方形为MNQD，正方形MNQD与Rt△ABC重合部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

    【答案】分析：（1）利用PQ∥AB，得出=，进而求出t的值即可；
    （2）利用y=PC×CQ得出关于t的二次函数的解析式，进而求出最值即可；
    （3）利用当PC=CQ时，t=3，△PCQ是等腰直角三角形，进而得出当t=3时，将△PCQ翻折得到的四边形PCQD是正方形；
    （4）根据当t=6时，当6＜t≤9时，点D在Rt△ABC的外部，点M在Rt△ABC的内部，以及当9＜t≤12，点D，M都在Rt△ABC的外部分别求出即可．
    解答：解：（1）由题意得出：CQ=t，PC=6-t，
    ∵PQ∥AB，
    ∴=，
    ∴=，
    ∴t=4，

    （2）∵y=PC×CQ=-t2+3t=-（t-3）2+；
    当t=3时，△PCQ的面积最大，最大面积为：；

    （3）∵当PC=CQ时，t=3，△PCQ是等腰直角三角形，
    ∴当t=3时，将△PCQ翻折得到的四边形PCQD是正方形；

    （4）①如图1，由已知条件易知：当t=6时，正方形MNQD的顶点D到达斜边AB的中点，
    ∴当3≤t≤6时，正方形MNQD在Rt△ABC的内部，此时s=9；
    ②如图2，当6＜t≤9时，点D在Rt△ABC的外部，点M在Rt△ABC的内部，设正方形MNQD与
    AB的两个交点分别是E，F，则BQ=12-t，
    由题意得出：DQ∥AC，
    ∴=，
    ∴=，
    ∴EQ=6-t，
    DE=3-EQ=t-3，
    而由题意得出：DF=t-6，
    ∴S=9-DE×DF=-t2+3t；
    ③如图3，当9＜t≤12，
    点D，M都在Rt△ABC的外部，设正方形MNQD与AB的两个交点为：E，F．
    由题意得出：
    BQ=12-t，
    ∴QE=（12-t），
    ∵BN=BQ+NQ=15-t，
    ∴FN=（15-t），
    ∴S=（QE+FN）×3=-t+．
    点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及正方形的性质，利用分类讨论思想进行分析即可得出答案是解题关键．
    练习册系列答案
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    如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，△ABC的面积为
    5
    2
    ，则tanA+tanB等于（　　）精英家教网
    A、
    4
    5
    B、
    5
    2
    C、4
    D、
    16
    5

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