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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知抛物线C：y=-
    1
    2
    x2+
    1
    2
    x+3与x轴交于点A、B两点，过定点的直线l：y=
    1
    a
    x-2（a≠0）交x轴于点Q．
    （1）求证：不论a取何实数（a≠0）抛物线C与直线l总有两个交点；
    （2）写出点A、B的坐标：A（
     
    ）、B（
     
    ）及点Q的坐标：Q（
     
    ）（用含a的代数式表示）；并依点Q坐标的变化确定：当
     
    时（填上a的取值范围），直线l与抛物线C在第一象限内有交点；
    （3）设直线l与抛物线C在第一象限内的交点为P，是否存在这样的点P，使得精英家教网∠APB=90°？若存在，求出此时a的值；不存在，请说明理由．
    分析：（1）求证：不论a取何实数（a≠0）抛物线C与直线l总有两个交点，就是求两个函数解析式组成的方程组有两个解，即利用代入法得到一个一元二次方程，可以根据根的判别式得到a的不等式，就可以求a的范围；
    （2）抛物线y=-
    1
    2
    x2+
    1
    2
    x+3中令y=0，就可以求出与x轴的交点，得到点A、B两点的坐标．在直线l：y=
    1
    a
    x-2（a≠0）中令y=0，解得x=2a，就可以求出Q的坐标；
    （3）设存在满足条件的点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），连AP、PB，使∠APB=90°，作PN⊥AB于N，易得△APN∽△PBN，得到PN2=AN•BN，就可以得到关于AN，BN的方程，再根据P（x0，y0）在函数的图象上，就可以得到关于AN、BN的方程，解这两个方程组成的方程组，就可以求出P的坐标．
    解答：（1）证明：由
    y=
    1
    2
    x2+
    1
    2
    x+3
    y=
    1
    a
    x-2
    消去y，得x2-（
    2
    a
    -1）x-10=0
    ∵△=（
    2
    a
    -1）2+40＞0（2分）
    ∴不论a（a≠0）取何实数，方程组有两组不同的实数解，
    故不论a（a≠0）取何实数，
    抛物线C与直线l总有两个交点；（3分）

    （2）解：A（-2，0），B（3，0），Q（2a，0）（每点坐标（1分），共6分）
    0＜a＜
    3
    2
    （写成a＞0或a＜
    3
    2
    只能给1分）；（8分）

    （3）解：一、设存在满足条件的点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），连AP、PB，使∠APB=90°，
    作PN⊥AB于N，则AN=x0+2，BN=3-x0，PN=y0精英家教网
    ∵∠APB=90°，PN⊥AB，则△APN∽△PBN．
    ∴PN2=AN•BN，
    则有y02=（x0+2）（3-x0）
    即y02=-x02+x0+6①（11分）
    ∵点P（x0，y0）在抛物线C上
    ∴y0=-
    1
    2
    x
    2
    0
    +
    1
    2
    x0+3
    即2y0=-x02+x0+6
    由①、②可得y02=2y0（y0＞0）
    ∴y0=2（13分）
    把y0=2代入②，得x0=2或-1，
    ∴x0＞0
    ∴x0＞2
    把x0=2，y0=2代入y0=
    1
    a
    x0-2    ，
    得a=
    1
    2

    ∴存在满足条件的P点，此时a=
    1
    2
    ．（14分）
    二、设存在满足条件的点P（x0，y0），连PA、PB，使∠APB=90°
    在Rt△APB中，斜边的中点M(
    1
    2
    ，0)    ，过点P作PN⊥AB，垂足为N，N的坐标为（x0，0），连接PM，由Rt△PMN，得MN2+PN2=PM2
    ∴（x0-
    1
    2
    ）2+y2=
    25
    4

    由
    (x0-
    1
    2
    )    2    +
    y
    2
    0
    =
    25
    4
    ①
    y0=-
    1
    2
    x
    2
    0
    +
    1
    2
    x0+3②

    整理，得
    x
    2
    0
    -x0-6+
    y
    2
    0
    =0③
    x
    2
    0
    -x0-6+2
    y
    2
    0
    =④

    ③-④得，y02=2y0．
    三、设存在满足条件的点P（x0，y0），连PA、PB，使∠APB=90°
    过点P作PN⊥AB，垂足为N，根据勾股定理得AP2+PB2=AB2=AN2+NP2+NP2+NB2=25
    即（x0+2）2+y02+y02+（3-x0）2=25
    整理得x02-x0-6+y02=0
    解方程组：
    x
    2
    0
    -x0-6+
    y
    2
    0
    =0
    x
    2
    0
    -x0-6+2y0=0

    得：y0=0或y0=2．
    所以x=3、-2、
    1±
    		17
    2
    ，
    所以a=
    3
    2
    （舍去），或a=-1（舍去），a=
    1±
    		17
    8
    （负值舍去）．
    点评：本题主要考查了利用韦达定理判断两个二元二次方程组成的解的个数．并且利用了相似三角形的性质，对应边的比相等．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）①当x的取值范围满足条件
    -2＜x＜0
    -2＜x＜0
    时，y＜-3；
         ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
    （3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
    （4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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