Question

如图，AB为半圆直径，AC⊥AB，BF⊥AB，BF=2，AB=3，CA=4，连接AF交半圆于D，连接CD，作DE⊥CD交直径AB于E，则tan∠ACE=

1

12

．

Answer 1

分析：首先利用圆周角定理得出∠ADB=90°，进而得出△ADB∽△ABF，求出

BF

AB

=

BD

AD

=

2

3

，再利用已知得出∠1=∠2，即可得出△ACD∽BED，进而求出

BD

AD

=

BE

AC

=

2

3

，得出BE的长，即可求出AE的长，得出tan∠ACE的值即可．

解答：解：连接BD，
∵AB为半圆直径，
∴∠ADB=90°，
∵BF⊥AB，
∴∠ABF=90°，
∵∠BAF=∠DAB，
∴△ADB∽△ABF，
∴

BF

AB

=

BD

AD

，
∵BF=2，AB=3，
∴

BF

AB

=

BD

AD

=

2

3

，
∵AB为半圆直径，AC⊥AB，
∴∠4+∠FAB=90°，
∵∠3+∠DAB=90°，
∴∠3=∠4，
∵∠1+∠ADE=90°，∠2+∠ADE=90°，
∴∠1=∠2，
∴△ACD∽BED，
∴

BD

AD

=

BE

AC

=

2

3

，
∵AC=4，
∴BE=

8

3

，
∴AE=3-

8

3

=

1

3

，
∴tan∠ACE=

1

12

．
故答案为：

1

12

．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及圆周角定理和相似三角形的判定与性质，在综合题中经常利用相似性解决有关圆的问题，同学们应有意识尝试应用．