Question

5．已知关于x的方程x²-（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m-1）²+（3+m）（3-m）+7m-5的值（要求先化简再求值）．

Answer 1

分析 （1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．
（2）把x=0代入方程即可求m的值，然后化简代数式再将m的值代入所求的代数式并求值即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m（m+1）=0．
∴△=（2m+1）²-4m（m+1）=1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵x=0是此方程的一个根，
∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，
∴m=0或m=-1，
∵（2m-1）²+（3+m）（3-m）+7m-5=4m²-4m+1+9-m²+7m-5=3m²+3m+5，
把m=0代入3m²+3m+5得：3m²+3m+5=5；
把m=-1代入3m²+3m+5得：3m²+3m+5=3×1-3+5=5．

点评 本题考查了根的判别式和一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．