Question

5．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD平分∠BAC，交BC于点D．如果作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为AB=AC+CD；
（2）如图，△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC，交BC于点D．（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，试说明理由；若成立，请证明．

Answer 1

分析 （1）首先得出△CAD≌△EAD（AAS），进而利用全等三角形的性质以及结合等腰直角三角形的性质得出答案；
（2）首先在AB上截取AE=AC，进而得出△ACD≌△AED（SAS），则CD=ED，∠C=∠AED，进而得出AC、CD、AB三条线段之间的数量关系．

解答 解：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
在△CAD和△EAD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠AED}\\{∠CAD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△EAD（AAS），
∴CD=DE，AC=AE，
∵∠B=45°，∠DEB=90°，
∴DE=EB，
∴DC=BE，
∴AE+BE=AC+DC=AB；
故答案为：AB=AC+CD．

（2）成立．
证明：如图2，在AB上截取AE=AC，连接DE．
∵在△ACD和△AED中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠CAD=∠BAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD=ED，∠C=∠AED，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
又∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴2∠B=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴ED=EB
∵AB=AE+EB，ED=EB=CD，AE=AC，
∴AB=AC+CD．

点评 此题主要考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．