Question

2．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1），其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…n（n+1）=？
观察下面三个特殊的等式：
1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）
2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）
3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20，读完这段材料，请你思考后回答：
（1）1×2+2×3+…+10×11=440；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）．（只需写出结果，不必写中间的过程）

Answer 1

分析 （1）根据题目中的信息可以解答本题；
（2）根据题目中的信息可以解答本题；
（3）根据题目中的信息，运用类比的数学思想可以解答本题．

解答 解：（1）1×2+2×3+…+10×11
=$\frac{1}{3}$×10×11×12
=440，
故答案为：440；

（2）1×2+2×3+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2），
故答案为：$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；

（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）
=$\frac{1}{4}$×（1×2×3×4-0×1×2×3）+$\frac{1}{4}$×（2×3×4×5-1×2×3×4）+…+$\frac{1}{4}$×[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]
=$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3），
故答案为：$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）．

点评 本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．