对有序数对(m.n)定义“f运算 :f(m.n)=($\frac{1}{2}$m+a.$\frac{1}{2}$n-b).其中a.b为常数．f运算的结果也是一个有序数对.在此基础上.可对平面直角坐标系中的任意一点A(x.y)规定“F变换 :点A(x.y)在F的变换下的对应点即为坐标为f(x.y)的点A′．=．在F变换下的对应点是它本身.求a.b的值．(3)坐标平面内有不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）=（$\frac{1}{2}$m+a，$\frac{1}{2}$n-b），其中a、b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点A（x，y）规定“F变换”：点A（x，y）在F的变换下的对应点即为坐标为f（x，y）的点A′．
（1）当a=0，b=0时，f（-2，4）=（-1，2）．
（2）若点P（2，-2）在F变换下的对应点是它本身，求a、b的值．
（3）坐标平面内有不共线的三点A、B、C，若它们在变换下的对应点分别为D、E、F且D、E、F也不共线，猜想△ABC与△DEF的面积之间的关系：S_△ABC=4•S_△DEF（用等式表示，不需要证明）．

分析（1）根据“F变换”的定义计算即可；
（2）根据F变换”的定义列出方程组即可解决问题；
（3）只要证明$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{EF}$=$\frac{AC}{DF}$=2，推出△ABC∽△DEF，可得$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△DEF}}$=2²，推出S_△ABC=4•S_△DEF；

解答解：（1）由题意f（-2，4）=（-1，2），
故答案为（-1，2）．

（2）由题意$\left\{\begin{array}{l}{1+a=-2}\\{1-b+-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴a=1，b=2．

（3）设A（x₁，y₁），b（x₂，y₂），则AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$，
由题意D（$\frac{1}{2}$x₁+a，$\frac{1}{2}$y₁-b），E（$\frac{1}{2}$x₂+a，$\frac{1}{2}$y₂-b），
∴DE=$\sqrt{（\frac{1}{2}{x}_{1}+a-\frac{1}{2}{x}_{2}-a）^{2}+（\frac{1}{2}{y}_{1}-b-\frac{1}{2}{y}_{2}+b）^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$AB，
同理可证，EF=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{EF}$=$\frac{AC}{DF}$=2，
∴△ABC∽△DEF，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△DEF}}$=2²，
∴S_△ABC=4•S_△DEF．
故答案为S_△ABC=4•S_△DEF．

点评本题考查三角形综合题，“F变换”的定义、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用两点间距离公式解决问题，本题证明两个三角形相似是突破点，属于中考压轴题．

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