Question

【题目】如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=x的图像交于点A，且与x轴交于点B.

（1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）B(7,0);（2）①8；②

【解析】

(1)解方程组求图象交点；（2）结合三角函数，根据等腰三角形判定求出点的坐标.

（1）解：根据题意得,解得 ,

∴A（3,4）

令y=0,得x=7.

∴B（7,0）

（2） 当P在OC上运动时,0≤t＜4

由S△APR=S四边形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8得t2-8t+12=0,

解得：t=2,t=6(舍)

当点P在CA上运动时, 4≤t＜7

由S△APR==8,得t=3,（舍）

∴当t=2时,以A,P,R为顶点的三角形的面积是8

当P在OC上运动时,0≤t＜4

∴AP=,AQ=(4-t),PQ=7-t,

当AP=AQ时, =(4-t),解得t=1或t=7(舍),

当AP=PQ时, =7-t,解得t=4(舍),

当PQ=AQ时, 7-t=(4-t),解得t=1±(舍),

当点P在CA上运动时, 4≤t＜7,过点A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4,

设直线l交AC于E,则QE⊥AC,AE=RD=t-4,AP=7-t

由cos∠OAC=,得AQ=

当AP=AQ时,7-t=,解得t= ,

当PQ=AQ时,AE=PE,即AE=AP,t-4=(7-t),解得t=5,

当AP=PQ时,过点P作PF⊥AQ于F

AF=AQ=×,在Rt△APF中,由cos∠PAF=,得AF=AP,即

×=×（7-t）,解得t=

综上,当t=1或或5或时,△APQ是等腰三角形.