Question

如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．
（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；
（2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）；
（3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）假设存在一点P，使点Q与点C重合，再设AP的长为x，利用勾股定理即可用x表示出DP、PC的长，在Rt△PCD中可求出x的值；
（2）连接AC，设BP=y，则AP=m-y，由相似三角形的判定定理得出△PBQ∽△ABC，△APD∽△BQP，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BQ的表达式；
（3）连接DQ，把四边形PQCD化为两个直角三角形，再用m表示出PD及CQ的长，利用三角形的面积公式即可解答．

解答：解：（1）存在点P．
假设存在一点P，使点Q与点C重合，如图1所示，设AP的长为x，则BP=10-x，
在Rt△APD中，DP²=AD²+AP²，即DP²=4²+x²，
在Rt△PBC中，PC²=BC²+PB²，即PC²=4²+（10-x）²，
在Rt△PCD中，CD²=DP²+PC²，即10²=4²+x²+4²+（10-x）²，
解得x=2或8，
故当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合，此时AP=2或8；

（2）连接AC，设BP=y，则AP=m-y，
∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴

BQ

BC

=

BP

AB

，即

BQ

4

=

y

m

①，
∵DP⊥PQ，
∴∠APD+∠BPQ=90°，
∵∠APD+∠ADP=90°，∠BPQ+∠PQB=90°，
∴∠APD=∠BQP，
∴△APD∽△BQP，
∴

AD

PB

=

AP

BQ

，即

4

y

=

m-y

BQ

②，
①②联立得，BQ=

4m2-64

m2

；

（3）连接DQ，
 由已知PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图），
∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，
∴△PBQ≌△DAP，
∴PB=DA=4，AP=BQ=m-4，
∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为：
S_{四边形PQCD}=S_矩形ABCD-S_△DAP-S_△QBP=4m-

1

2

×4×（m-4）-

1

2

×4×（m-4）=16，
∵AD=4，m＞4，△PBC中PB是直角三角形的另一直角边，
∴4＜m＜8．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到矩形的性质、等腰直角三角形的性质及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．