Question

10．如图1，在线段AB中，已知AD=2，DF=6，FB=1，有人想把线段A′C分成三段：A′E、EG、GC，使得A′E：EG：GC=2：6：1，他把线段AB移到A′B′的位置（即把A移到A′，把B移到B′），连接B′C，分别过F′、D′作D′E∥F′G∥B′C．

（1）若A′C=4.5，则EG=3，A′G=4；
（2）上述方法启发我们可以解决下列问题：如图2，已知△ABC和线段a，请用直尺与圆规作△A′B′C′，满足：
①△A′B′C′∽△ABC；
②△A′B′C′的周长等于线段a的长度．（保留作图痕迹，并写出作图步骤）

Answer 1

分析 （1）把A′C分成9份，然后利用比例的性质计算EG和A′G；
（2）先在射线OM上截取OD=a，再射线ON上依次截取OE=AB，EF=BC，FG=AC，再连结DG，分别过E、F作DG的平行线交OM于H、P，则根据平行线分线段成比例定理得到OH：HP：PD=OE：EF：FG，然后以OH、HP、PD为三边作三角形A′B′C′，则利用相似三角形的判定可得到△A′B′C′∽△ABC．

解答 解：（1）EG=$\frac{6}{9}$A′C=$\frac{2}{3}$×4.5=3，A′G=$\frac{8}{9}$A′C=$\frac{8}{9}$×4.5=4；
故答案为3，4；
（2）如图，
作法如下：
①作射线OM、ON，在射线OM上截取OD=a，再射线ON上依次截取OE=AB，EF=BC，FG=AC，
②连结DG，分别过E、F作DG的平行线交OM于H、P，
③作B′C′=HP，分别以B、C为圆心，OH、PD为半径画画交于点A′，连结A′B′、A′C′，
则△A′B′C′为所作．

点评 本题考查了相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．解决本题的关键是利用平行线分线段成比例定理把原三角形各边缩小．