Question

20．定义一种运算：a_k=a_k-1+1-5（[$\frac{k-1}{5}$]-[$\frac{k-2}{5}$]），其中k是正整数，且k?2，[x]表示非负实数x的整数部分，例如[2.6]=2，[0.8]=0．若a₁=1，则a₂₀₁₆的值为（　　）

• A． 2017
• B． 1
• C． 2016
• D． 2

Answer 1

分析 首先定义的新运算方法，可得a₂=a₁+1-5（[$\frac{2-1}{5}$]-[$\frac{2-2}{5}$]）=1+1=2，a₃=a₂+1-5（[$\frac{3-1}{5}$]-[$\frac{3-2}{5}$]）=2+1=3，同理，可得a₄=4，a₅=5，a₆=1，a₇=2，…，所以这列数是1、2、3、4、5、1、2、3、4、5、…，每5个数是一个循环；然后用2016除以4，根据余数的情况判断出a₂₀₁₆的值为多少即可．

解答 解：∵a₁=1，
∴a₂=a₁+1-5（[$\frac{2-1}{5}$]-[$\frac{2-2}{5}$]）=1+1=2，
a₃=a₂+1-5（[$\frac{3-1}{5}$]-[$\frac{3-2}{5}$]）=2+1=3，
同理，可得a₄=4，a₅=5，a₆=1，a₇=2，…，
∴这列数是1、2、3、4、5、1、2、3、4、5、…，每5个数是一个循环；
∵2016÷5=403…1，
∴a₂₀₁₆=1．
故选B．

点评 此题主要考查了数字的变化类，探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数是1、2、3、4、5、1、2、3、4、5、…，每5个数是一个循环．