Question

20．如图，△ABC中，∠A=50°，
（1）若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数；
（2）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；
（3）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数；
（4）若∠A=β，求（1）（2）（3）中∠P的度数（用含β的代数式表示，直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=65°，根据三角形的内角和定理得出∠P的度数；
（2）由三角形内角和定理和邻补角关系得出∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，由角平分线得出∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠CBD+∠BCE）=115°，再由三角形内角和定理即可求出结果；
（3）由三角形的外角性质和角平分线的定义证出∠P=$\frac{1}{2}$∠A，即可得出结果；
（4）由（1）（2）（3），容易得出结果．

解答 解；（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，
∵∠B和∠C的平分线交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$×（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×130°=65°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°；
（2）∵∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，
∴∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，
∵点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠CBD+∠BCE）=115°，
∴∠P=180°-115°=65°；
（3）∵点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCF=$\frac{1}{2}$∠ACF，
∵∠PCF=∠P+∠PBC，∠ACF=∠A+∠ABC，
∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC，
∴∠P=$\frac{1}{2}$∠A=25°；
（4）若∠A=β，在（1）中，∠P=180°-$\frac{1}{2}$（180°-β）=90°+$\frac{1}{2}$β；
在（2）中，同理得：∠P=90°-$\frac{1}{2}$β；
在（3）中同理得：∠P=$\frac{1}{2}$∠A=$\frac{1}{2}$β．

点评 本题考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线、三角形的外角性质、邻补角关系等知识点；熟练掌握三角形内角和定理，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．