Question

20．如果，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）、B（2，6），连接AB，如果点P在直线y=-x+1上，且点P到直线的距离小于1，那么点P是线段AB的“环绕点”，若点Q（m，n）是线段AB的“环绕点”，求n的取值范围．

Answer 1

分析 延长线段BA，过点Q作QE垂直直线AB于点E，分别令直线y=-x+1与y、x轴以及直线AB的交点为C、D、F．由直线CD的解析式为y=-x+1可以找出C、D点的坐标，从而得出∠OCD的度数，由直线AB的解析式为x=2，可求出点F的坐标，以及找出∠EFQ=45°，结合环绕点的概念可得出关于n的方程，解方程即可得出n的取值范围．

解答 解：延长线段BA，过点Q作QE垂直直线AB于点E，分别令直线y=-x+1与y、x轴以及直线AB的交点为C、D、F，如图所示．

∵直线CD的解析式为y=-x+1，
∴点C（0，1），点D（0，1），
∴tan∠OCD=$\frac{1}{1}$=1，∠OCD=45°．
∵直线AB∥y轴，
∴∠OCD=∠EFQ=45°．
令x=2，则y=-2+1=-1，
∴点F的坐标为（2，-1）．
∵∠EFQ=45°，点Q（m，n）是线段AB的“环绕点”，
∴EF=EQ=|n-（-1）|＜1，
解得：-2＜n＜0．
∴若点Q（m，n）是线段AB的“环绕点”，n的取值范围为-2＜n＜0．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及环绕点的应用，解题的关键是根据环绕点的概念得出关于n的方程．本题属于基础题，难度不大，再解决该题型题目时，我们时常可以利用到点到直线的距离公式，那样会减少做题步骤，简化做题过程．