Question

如图，点M，N分别在等边三角形ABC的BC、CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．
（1）求证：∠BQM=60°．
（2）思考下列问题：
①如果将原题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的新命题是否仍是真命题？
②如果将原题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③如果将题中“等边三角形ABC”，改为“等腰直角三角形ABC，且∠BAC=90°”，是否仍能得到∠BQM=60°？
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①______；②______；③______；
并选择其中一个真命题给出证明．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠C=60°
∵在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠NBC=∠BAM，
又∵∠NBC+∠ABN=60°，
∴∠BAM+∠ABN=60°，
即∠BQM=60°；

（2）①是；②是；③否，
选②，
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∴∠BAN=∠ACM=120°，
∵CN=BM，BC=AC，
∴AN=CM，
∵在△ABN和△CAM中，
，
∴△ABN≌△CAM，
∴∠M=∠N，∠NAQ=∠CAM，
又∵∠CAM+∠M=∠ACB=60°，∠NAQ=∠CAM，
∴∠N+∠NAQ=60°，
即∠BQM=60°，
故答案为：是，是，否．
分析：（1）根据等边三角形性质得出AB=AC，∠ABC=∠C=60°，根据SAS证△ABM≌△BCN，推出∠NBC=∠BAM，求出∠BAM+∠ABN=60°即可；
（2）①根据∠BQM=60°和∠ABC=60°求出∠BAM=∠CBN推出△BCN≌△ABM即可；②求出△ABN≌△CAM，推出∠M=∠N，∠NAQ=∠CAM，根据∠CAM+∠M=∠ACB=60°和∠NAQ=∠CAM求出∠N+∠NAQ=60°即可；③∠BQM=∠ABC=45°．
点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用．