Question

如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-

1

2

x+b交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式．

Answer 1

分析：分类讨论：直线y=-

1

2

x+b经过C点，A点或B点，得到b的范围为：1≤b≤

3

2

，或

3

2

＜b＜

5

2

，根据E点坐标表示出有关线段，然后分别根据三角形的面积公式进行计算即可．

解答：解：（1）由题意得B（3，1）．
若直线经过点A（3，0）时，则b=

3

2

；
若直线经过点B（3，1）时，则b=

5

2

；
若直线经过点C（0，1）时，则b=1；

①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤

3

2

，如图①，
此时E（2b，0）
∴S=

1

2

OE•CO=

1

2

×2b×1=b
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即

3

2

＜b＜

5

2

，如图②

此时E（3，b-

3

2

），D（2b-2，1）
∴S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE）
=3-[

1

2

（2b-2）×1+

1

2

×（5-2b）•（

5

2

-b）+

1

2

×3（b-

3

2

）]=

5

2

b-b2
∴S=

b(1＜b≤ 3 2 ) 5 2 b-b2( 3 2 ＜b＜ 5 2 )

．

点评：本题考查了一次函数的性质：点在函数图象上，点的坐标满足函数的解析式．也考查了分类讨论思想的运用和用坐标表示线段的长以及三角形的面积公式．