Question

在△ABC中，AC=25，AB=35，tanA=

4

3

，点D为边AC上一点，且AD=5，点E、F分别为边AB上的动点（点F在点E的左边），且∠EDF=∠A．设AE=x，AF=y．
（1）如图1，当DF⊥AB时，求AE的长；
（2）如图2，当点E、F在边AB上时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）联结CE，当△DEC和△ADF相似时，求x的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）先根据DF⊥AB，∠EDF=∠A，得出∠ADE=90°，再根据AD=5，tanA=

4

3

，即可求出AE；
（2）过点D作DG⊥AB，交AB于G，先证出△EDF∽△EAD，得出ED²=AE•EF，再求出DG、AG，最后根据EG=x-3，DE²=4²+（x-3）²得出4²+（x-3）²=x•（x-y），
再进行整理即可；
（3）先证出∠AFD=∠EDC，再分两种情况讨论：①当∠A=∠CED时，得出

AD

AC

=

AF

AE

，

5

25

=

y

x

，再把y=6-

25

x

代入得出5（6-

25

x

）=x，再解方程即可；
②当∠A=∠DCE时，根据△ECD∽△DAF得出

CD

AF

=

CE

AD

，

20

y

=

x

5

，再把y=6-

25

x

代入得出5（6-

25

x

）=x，求出方程的解即可．

解答：解：（1）∵DF⊥AB，
∴∠AFD=90°，
∴∠A+∠ADF=90°
∵∠EDF=∠A，
∴∠EDF+∠ADF=90°，
即∠ADE=90°，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=5，tanA=

4

3

，
∴DE=

20

3

，
∴AE=

25

3

，
（2）过点D作DG⊥AB，交AB于G，
∵∠EDF=∠ADE，∠DEF=∠AED，
∴△EDF∽△EAD，
∴

ED

EF

=

AE

ED

，
∴ED²=AE•EF，
∴RT△AGD中，∠AGD=90°，AD=5，tanA=

4

3

，
∴DG=4，AG=3，
∴EG=x-3，
∴DE²=4²+（x-3）²，
∴4²+（x-3）²=x•（x-y），
∴y=6-

25

x

 （

25

6

≤x≤35）；
（3）∵∠A+∠AFD=∠EDF+∠EDC，且∠EDF=∠A，
∴∠AFD=∠EDC，
①当∠A=∠CED时，
∵∠EDF=∠A，
又∵∠CED=∠FDE，
∴DF∥CE
∴

AD

AC

=

AF

AE

，
∴

5

25

=

y

x

，
∵y=6-

25

x

，
∴5（6-

25

x

）=x，
x₁=25，x₂=5；
②当∠A=∠DCE时，
∵∠EDF=∠A，
∴△ECD∽△DAF
∴

CD

AF

=

CE

AD

，
∴

20

y

=

x

5

，
∵y=6-

25

x

，
∴5（6-

25

x

）=x，
∴x=

125

6

，
∴当△DEC和△ADF相似时，x=25或x=5或x=

125

6

．

点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数，关键是根据题意作出辅助线，构造相似三角形．