Question

如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=9，点P是边CD上的动点（点P不与点C、点D重合），过点P作直线PQ∥AC，交AD边于点Q，再把△DPQ沿着动直线PQ对折，点D的对应点是点E，设DP的长度为x，△EPQ与矩形ABCD重叠部分的面积为y．
（1）求∠DQP的度数；
（2）当x取何值时，点E落在矩形ABCD的边BC上？
（3）求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

解：（1）∵PQ∥AC，
∴∠DQP=∠DAC，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD=，AD=BC=9，∠D=90°，
Rt△ADC中，tan∠DAC=，
∴∠DAC=30°，
∴∠DQP=30°；

（2）如图，由折叠得△DPQ≌△EPQ，
∴∠DPQ=∠EPQ，PD=PE=x，
∵∠DQP=30°，∠D=90°，
∴∠DPQ=∠EPQ=60°，
∴∠EPC=60°，
Rt△PEC中，PE=x，∠EPC=60°，
∴PC=PE=，
∴，
∴，
∴当时，点E落在矩形ABCD的边BC上；

（3）当0＜x≤时，点E落在矩形ABCD的内部或BC边上，
△EPQ与矩形ABCD重叠部分为△EPQ，
∴y=S_△EPQ=S_△DPQ=，
当＜x＜时，点E落在矩形ABCD的外部，
∵，
∴，，，
∴y=S_△EPQ-S_△EMN=，
=，
（0＜x≤）（＜x＜），
=，
∴y=．
分析：（1）利用PQ∥AC，Rt△ADC中，tan∠DAC=，从而求出角度，
（2）由折叠得△DPQ≌△EPQ，PE=x，PC=PE=，再求出x，
（3）利用三角形面积之间的关系求出．
点评：此题主要考查了图形的折叠问题，以及三角函数值问题和求函数解析式问题，综合性较强．