Question

15．如图，点E为正方形ABCD中AD边上的一个动点，AB=16，以BE为边画正方形BEFG，边EF与边CD交于点H．
（1）当E为边AD的中点时，求DH的长；
（2）当tan∠ABE=$\frac{3}{4}$时，连接CF，求CF的长；
（3）连接CE，求△CEF面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到∠D=∠A=∠BEF=90°，根据余角的性质得到∠AEB=∠DHE，根据相似三角形的想知道的$\frac{DH}{AE}=\frac{DE}{AB}$，代入数据即可得到结论；
（2）过F作FG⊥DC于点G，FM⊥AD，交AD的延长线于M，连接CF，根据已知条件得到AE=12，求得DE=4，根据余角的性质得到∠MEF=∠ABE，等量代换得到tan∠MEF=$\frac{3}{4}$求得ME=16，FM=12，根据勾股定理即可得到结论；
（3）由于S_△CEF=S_△CHF+S_△CHE=$\frac{1}{2}$CH•EM，根据全等三角形的性质得到EM=AB=16，求得S_△CEF=8CH，根据相似三角形的性质得到$\frac{DE}{AB}=\frac{DH}{AE}$，设AE为x，于是得到DH=$\frac{1}{16}$（-x²+16x）=-$\frac{1}{16}$（x-8）²+4≤4，即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD和四边形BGFE是正方形，
∴∠D=∠A=∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEH=∠DEH+∠DHE=90°，
∴∠AEB=∠DHE，
∴△EDH∽△BAE，
∴$\frac{DH}{AE}=\frac{DE}{AB}$，
∵E为边AD的中点，
∴DE=AE=8，
∴$\frac{DH}{8}=\frac{8}{16}$，
∴DH=4；

（2）过F作FG⊥DC于点G，FM⊥AD，交AD的延长线于M，连接CF，
∵tan∠ABE=$\frac{3}{4}$，AB=16，
∴AE=12，
∴DE=4，
∵∠MEF+∠AEB=∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠MEF=∠ABE，
∴tan∠MEF=$\frac{3}{4}$，
∴ME=16，FM=12，
∴DM=12，
∴DM=MF，
∴四边形DGFM是正方形，
∴FG=12，HG=9，
∴CG=4，
∴FC=$\sqrt{F{G}^{2}+C{G}^{2}}$=4$\sqrt{10}$；

（3）∵S_△CEF=S_△CHF+S_△CHE=$\frac{1}{2}$CH•EM，
∵△EMF≌△BAE，
∴EM=AB=16，
∴S_△CEF=8CH，
∵△EDH∽△BAE，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{DH}{AE}$，
设AE为x，则DH=$\frac{1}{16}$（-x²+16x）=-$\frac{1}{16}$（x-8）²+4≤4，
∴DH≤4，
∴CH≥12，CH最小值是12，
∴△CEF面积的最小值是96．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、三角形的面积公式及二次函数的性质，解题的关键是找出线段DN的最大值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式找出其去最值的条件，再结合二次函数的性质去解决最值问题．