Question

12．如图，二次函数的图象与x轴相交于A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴相交于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）D点坐标（-2、3）；
（2）求二次函数的解析式；
（3）根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围；
（4）若点M是抛物线BD之间的一个动点，求△MBD的面积最大值．

Answer 1

分析 （1）根据C、D关于对称轴x=-1对称，C（0，3），可以求出点D坐标．
（2）设二次函数解析式为y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得到求出a即可．
（3）一次函数值小于二次函数值，在图象上一次函数的图象在二次函数的图象下面即可写出x的范围．
（4）设M（m，-m²-2m+3），作MP∥y轴，交BD于P，根据S_△MBD=S_△PMD+S_△PMB构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）由题意可知C、D关于对称轴x=-1对称，C（0，3），
∴D（-2，3）
故答案为-2，3．

（2）设二次函数解析式为y=a（x+3）（x-1），
把C（0，3）代入得到，a=-1，
∴二次函数解析式为y=-（x+3）（x-1），
即y=-x²-2x+3．

（3）由图象可知，一次函数值小于二次函数值的x的取值范围-2＜x＜1．

（4）设M（m，-m²-2m+3），作MP∥y轴，交BD于P，
∵D（-2，3），B（1，0），
∴直线BD的解析式为y=-x+1，
∴p（m，-m+1），
∴S_△MBD=S_△PMD+S_△PMB=$\frac{1}{2}$•（-m²-2m+3+m-1）•3=-$\frac{3}{2}$（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴m=-$\frac{1}{2}$时，△MBD的面积最大值为$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、三角形的面积、最值问题等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．