Question

11．如图，∠DAC是△ABC的外角，且∠DAC=2∠B．
（1）求证：AB=AC；
（2）如果A恰好为BD的中点，求证：DC⊥BC．

Answer 1

分析 （1）∠根据三角形外角的性质得到∠DAC=∠B+∠C，于是得到结论；
（2）连接DC，由A恰好为BD的中点，得到AB=AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB；∠D=∠ACD，根据三角形的内角和即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠DAC是△ABC的外角，
∴∠DAC=∠B+∠C，
∵∠DAC=2∠B，
故：∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）连接DC，
∵A恰好为BD的中点，
∴AB=AC=AD，
∠B=∠ACB；∠D=∠ACD，
∵∠D+∠B+∠BCD=180°，
即：∠D+∠B+∠ACB+∠ACD=180°，
∴2∠ACB+2∠ACD=180°，
∴∠ACB+∠ACD=90°，
即：∠BCD=90°，
∴DC⊥BC．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．