Question

【题目】如图，矩形OABC的项点A、C分别在、轴的正半轴上，点B点反比例函数（k≠0）的第一象限内的图象上，OA=3，OC=5，动点P在轴的上方，且满足

（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；

（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；

（3）若点Q在平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标.

Answer 1

【答案】（1）P（5，3）;（2）最小值为;（3）Q（，8）或（7，8）或（，）或（，）

【解析】

（1）由矩形的性质可得出点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，进而可得出反比例函数解析式，由可求出点P的纵坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；

（2）作点O关于直线y=3的对称点O′，连接AO′交直线y=3于点P，利用两点之间线段最短可得出此时PO+PA取得最小值，由点O的坐标可求出点O′的坐标，再利用勾股定理即可求出PO+PA的最小值；
（3）由线段AB的长及点P的纵坐标可得出AB只能为边，分点Q在点P的上方及点Q在点P的下方两种情况考虑：①当点Q在点P的上方时，由AP=AB=5可求出m的值，进而可得出点P1，P2的坐标，结合PQ=AB=5可得出点Q1，Q2的坐标；②当点Q在点P的下方时，由BP=AB=5可求出m的值，进而可得出点P3，P4的坐标，结合PQ=AB=5可得出点Q3，Q4的坐标．

（1）由题意，可知：点B的坐标为（3，5）．
∵点B在反比例函数（k≠0）的第一象限内的图象上，
∴k=3×5=15，
∴反比例函数的解析式为，
∵

∴
∴．
当y=3时，，

解得：x=5，
∴当点P在这个反比例函数的图象上时，点P的坐标为（5，3）．
（2）由（1）可知：点P在直线y=3上，作点O关于直线y=3的对称点O′，连接AO′交直线y=3于点P，此时PO+PA取得最小值，如图1所示．

∵点O的坐标为（0，0），
∴点O′的坐标为（0，6）．
∵点A的坐标为（3，0），
∴AO′=，

∴PO+PA的最小值为．
（3）∵AB∥y轴，AB=5，点P的纵坐标为3，
∴AB不能为对角线，只能为边．
设点P的坐标为（m，3），分两种情况考虑，如图2所示：

①当点Q在点P的上方时，AP=AB=5，即，
解得：m1=-1，m2=7，
∴点P1的坐标为（-1，3），点P2的坐标为（7，3）．
又∵PQ=5，且PQ∥AB∥y轴，
∴点Q1的坐标为（-1，8），点Q2的坐标为（7，8）；
②当点Q在点P的下方时，BP=AB=5，即，
解得：，，
同理，可得出：点Q3的坐标为（，-2），点Q4的坐标为（，-2）
综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形时，点Q的坐标为Q（，8）或（7，8）或（，）或（，）