Question

2．如图，在等腰直角△ABC中，AB=BC，点M是BC边上任意一点，点D是AB的延长线上一点，且BM=BD；又有点E、F分别是CD、AM边的中点，连结FE、EB．下列结论一定正确的有（　　）
①△AMB≌△CDB
②∠BEF的度数始终保持不变
③始终有$\frac{EF}{AC}$=$\frac{BD}{AB}$成立
④若$\frac{EF}{AC}$=$\frac{3}{5}$，则$\frac{AB}{AM}$=$\frac{5}{6}$．

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 ①求出∠ABM=∠CBD，根据SAS推出全等即可；
②根据全等求出AM=DC，推出BE=BF，求出∠EBF=90°，即可得出∠BEF=45°；
④设EF=3a，AC=5a，由勾股定理求出AB=BC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$a，BF=BE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，求出AM=2BF=3$\sqrt{2}$a，解直角三角形求出即可；
③△AMB≌△CDB，得到BM=BD=$\sqrt{11}$a，得到$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{11}a}{\frac{5\sqrt{2}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{22}}{5}$≠$\frac{3}{5}$=$\frac{EF}{AC}$，故③错误

解答 解：①∵∠ABC=90°，
∴∠ABM=∠CBD=90°，
∵在△AMB和△CDB中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠CBD}\\{BM=BD}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△CDB（SAS），故①正确；
②∠BEF的度数不发生变化，
理由是：连接BF，
∵△AMB≌△CDB，
∴∠DCB=∠MAB，AM=DC，
∵E、F分别为DC、AM中点，∠ABM=∠CBD=90°，
∴BE=DE=CE$\frac{1}{2}$CD，BF=MF=AF=$\frac{1}{2}$AM，
∴BE=BF，∠BAF=∠FBA，∠EBD=∠D，
∵∠D+∠DCB=90°，
∴∠FBA+∠EBD=90，
∴∠FBE=180°-90°=90°，
∵BE=BF，
∴∠BEF=45°，故②正确；
④设EF=3a，AC=5a，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴由勾股定理得：AB=BC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$a，
同理：BF=BE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，
∴AM=2BF=3$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{AB}{AM}$=$\frac{5}{6}$，故④正确；
③∵△AMB≌△CDB，
∴BM=BD=$\sqrt{11}$a，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{11}a}{\frac{5\sqrt{2}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{22}}{5}$≠$\frac{3}{5}$=$\frac{EF}{AC}$，故③错误．
故选D．

点评 本题考查了等腰直角三角形性质和判定，直角三角形斜边上中线，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理的应用，关键是推出△AMB≌△CDB和求出△EBF是等腰直角三角形．