Question

已知关于x的方程x²-6x+（a-2）|x-3|+9-2a=0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是

1. A.
   a=0
2. B.
   a≥0
3. C.
   a=-2
4. D.
   a＞0或a=-2

Answer 1

D
分析：分两种情况推论：当x≤3，方程变为：x²-（a+4）x+a+3=0①，△=（a+4）²-4（a+3）=（a+2）²，x₁=1，x₂=a+3；当x＞3，方程变为：x²+（a-8）x+15-5a=0②，△=（a-8）²-4（15-5a）=（a+2）²，x₁=5，x₂=3-a；根据原方程有两个不同的实数根，再推论：当a+2=0，方程①，②都有等根，满足条件；当a+3＞3，且3-a＜3，即a＞0，方程①，②都只有一个根，也满足条件．由此得到实数a的取值范围．
解答：当x≤3，方程变为：x²-（a+4）x+a+3=0①，△=（a+4）²-4（a+3）=（a+2）²，x₁=1，x₂=a+3；
当x＞3，方程变为：x²+（a-8）x+15-5a=0②，△=（a-8）²-4（15-5a）=（a+2）²，x₁=5，x₂=3-a；
∵原方程有两个不同的实数根，
∴方程①，②都有等根，即a+2=0，a=-2；
或方程①，②都只有一个根，即a+3＞3，且3-a＜3，解得a＞0，
所以实数a的取值范围是a＞0或a=-2．
故选D．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了绝对值的含义和解一元二次方程．