Question

8．如图，已知正方形ABCD，M，N分别是BC，CD上的点，∠MAN=45°，连接BD分别交AM，AN于E，F，下面结论错误的是⑤．
①△CMN的周长等于正方形ABCD的边长的两倍；
②点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长；
③EF²=BE²+DF²；
④△EMO与△FNO均为等腰直角三角形；
⑤S_△AMN=$\sqrt{2}$S_△AEF；
⑥S_{正方形ABCD}：S_△AMN=2AB：MN．

Answer 1

分析 将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH．证明△MAN≌△HAN，得到MN=NH，根据三角形周长公式计算判断①；
根据全等三角形的性质判断②；
将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．证明△EAH≌△EAF，得到∠HBE=90°，根据勾股定理计算判断③；
根据等腰直角三角形的判定定理判断④；
根据等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，判断⑤，
根据点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长、三角形的面积公式计算，判断⑥．

解答 解：将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH．
则∠DAH=∠BAM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAN+∠DAN=45°，
∴∠NAH=45°，
在△MAN和△HAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AH}\\{∠MAN=∠HAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△MAN≌△HAN，
∴MN=NH=BM+DN，
∴△CMN的周长=CM+CN+MN=CM+BM+CN+DN=CB+CD，
∴△CMN的周长等于正方形ABCD的边长的两倍，①结论正确；
∵△MAN≌△HAN，
∴点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长AD，②结论正确；
如图2，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．
∵∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∠DAF=∠BAE，
∴∠EAH=∠EAF=45°，
∵EA=EA，AH=AD，
∴△EAH≌△EAF，
∴EF=HE，
∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，
∴∠HBE=90°，
在Rt△BHE中，HE²=BH²+BE²，
∵BH=DF，EF=HE，
∵EF²=BE²+DF²，③结论正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=∠EDN，
∴A、E、N、D四点共圆，
∴∠ADN+∠AEN=180°，
∴∠AEN=90°
∴△AEN是等腰直角三角形，
同理△AFM是等腰直角三角形；④结论正确；
∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，
∴AM=$\sqrt{2}$AF，AN=$\sqrt{2}$AE，
∵S_△AMN=$\frac{1}{2}$AM•AN•sin45°，
S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•AF•sin45°，
∴S_△AMN：S_△AEF=2，
∴S_△AMN=2S_△AEF，⑤结论错误；
∵点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长，
∴S_{正方形ABCD}：S_△AMN=$\frac{AB×AB}{\frac{1}{2}×MN×AB}$=2AB：MN，⑥结论正确．
故答案为：⑤．

点评 本题考查了本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．