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    10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，$\frac{BC}{AC}$=$\frac{m}{n}$，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
    （1）探究发现：
    如图1，若m=n，点E在线段AC上，则$\frac{DE}{DF}$=1；
    （2）数学思考：
    ①如图2，若点E在线段AC上，则$\frac{DE}{DF}$=$\frac{n}{m}$（用含m，n的代数式表示）；
    ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否任然成立？请仅就图3的情形给出证明；
    （3）拓展应用：若AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，DF=4$\sqrt{2}$，请直接写出CE的长．

    分析 （1）先用等量代换判断出∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判断出△ADC∽△CDB即可；
    （2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判断出△ADC∽△CDB即可；
    （3）由（2）的结论得出△ADE∽△CDF，判断出CF=2AE，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可．

    解答 解：（1）当m=n时，即：BC=AC，
    ∵∠ACB=90°，
    ∴∠A+∠ABC=90°，
    ∵CD⊥AB，
    ∴∠DCB+∠ABC=90°，
    ∴∠A=∠DCB，
    ∵∠FDE=∠ADC=90°，
    ∴∠FDE-∠CDE=∠ADC-∠CDE，
    即∠ADE=∠CDF，
    ∴△ADE∽△CDF，
    ∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AD}{DC}$，
    ∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，
    ∴△ADC∽△CDB，
    ∴$\frac{AD}{DC}=\frac{AC}{BC}$=1，
    ∴$\frac{DE}{DF}$=1
    （2）①∵∠ACB=90°，
    ∴∠A+∠ABC=90°，
    ∵CD⊥AB，
    ∴∠DCB+∠ABC=90°，
    ∴∠A=∠DCB，
    ∵∠FDE=∠ADC=90°，
    ∴∠FDE-∠CDE=∠ADC-∠CDE，
    即∠ADE=∠CDF，
    ∴△ADE∽△CDF，
    ∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AD}{DC}$，
    ∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，
    ∴△ADC∽△CDB，
    ∴$\frac{AD}{DC}=\frac{AC}{BC}=\frac{n}{m}$，
    ∴$\frac{DE}{DF}=\frac{n}{m}$
    ②成立．如图，

    ∵∠ACB=90°，
    ∴∠A+∠ABC=90°，
    又∵CD⊥AB，
    ∴∠DCB+∠ABC=90°，
    ∴∠A=∠DCB，
    ∵∠FDE=∠ADC=90°，
    ∴∠FDE+∠CDE=∠ADC+∠CDE，
    即∠ADE=∠CDF，
    ∴△ADE∽△CDF，
    ∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AD}{DC}$，
    ∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，
    ∴△ADC∽△CDB，
    ∴$\frac{AD}{DC}=\frac{AC}{BC}=\frac{n}{m}$，
    ∴$\frac{DE}{DF}=\frac{n}{m}$．
    （3）由（2）有，△ADE∽△CDF，
    ∵$\frac{DE}{DF}=\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
    ∴$\frac{AD}{CD}=\frac{AE}{CF}=\frac{DE}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
    ∴CF=2AE，
    在RtDEF中，DE=2$\sqrt{2}$，DF=4$\sqrt{2}$，
    ∴EF=2$\sqrt{10}$，
    ①在Rt△CEF中，CF=2AE=2（AC-CE）=2（$\sqrt{5}$-CE），EF=2$\sqrt{10}$，
    根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
    ∴CE2+[2（$\sqrt{5}$-CE）]2=40
    ∴CE=2$\sqrt{5}$，或CE=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（舍）
    ②在Rt△CEF中，CF=2AE=2（AC+CE）=2（$\sqrt{5}$+CE），EF=2$\sqrt{10}$，
    根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
    ∴CE2+[2（$\sqrt{5}$+CE）]2=40，
    ∴CE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，或CE=-2$\sqrt{5}$（舍），
    即：CE=2$\sqrt{5}$或CE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

    点评 此题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解本题的关键，求CE是本题的难点．

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