Question

已知Rt△ABC的斜边长为25，两直角边的长正好是不等式组

2x-7≥x+5 1 5 x＜ 1 6 x+1

的两个整数解，则两直角边的长分别为

 

和

 

．

Answer 1

分析：首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的两个正整数即可．

解答：解：解不等式组

2x-7≥x+5 1 5 x＜  1 6 x+1

得

x≥12 x＜30

，即12≤x＜30．
设三角形两直角边分别为x₁，x₂且x₁＜x₂．
则由直角三角形性质可知x₁＜x_2＜25．且x₁²+x₂²=25²①．
又∵x₁，x₂均为原不等式组的特殊解．
∴其取值范围为12≤x₁＜x₂＜25．
其中正整数解为12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24．
将x₁、x₂可能取得的正整数解逐一代入①中发现只有当x₁=15，x₂=20时才能使等式①成立．
所以三角形两直角边的长分别为15和20．

点评：考查勾股定理，不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了；对常见勾股数熟练记忆，能大大本题提高解题速度．