Question

如图：在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，CE⊥AD，交AD的延长线于E，CF⊥AB，垂足为F．
（1）写出图中相等的线段； （已知的相等线段除外）
（2）若AD=5，CF=4，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

解：（1）图中的相等线段有CE=CF，DE=BF，AE=AF．

（2）
过D作DM⊥AB于M，
∵在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∵DM⊥AB，CF⊥AB，
∴DM∥CF，
∵DC∥AB，∠CFM=90°，
∴四边形DMFC是矩形，
∴DM=CF=4，DC=MF=AD=5，
在Rt△ADM和Rt△CFB中，AM²=AD²-DM²，BF²=BC²-CF²，
∵AD=BC=5，DM=CF=4，
∴AM=BF=3，
∴AB=3+3+5=11，
∴S_{四边形ABCD}=×（DC+AB）×CF=×（5+11）×4=32．
分析：（1）根据△CED≌△CFB推出CE=CF，DE=BF，连接AC，根据勾股定理求出AE=AF．
（2）过D作DM⊥AB于M，得出矩形DMFC，推出CD=MF=5，求出AM=BF=3，求出AB，根据梯形的面积公式求出即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，梯形的性质，等腰梯形的性质和判定等知识点的综合运用．